Théorème de Pythagore (4e) : fiche + 10 exercices corrigés
Objectifs pédagogiques
- Connaître et utiliser le théorème de Pythagore dans un triangle rectangle.
- Calculer une longueur inconnue : hypoténuse ou côté de l’angle droit.
- Utiliser la réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle.
- Utiliser la contraposée pour démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle.
- Rédiger correctement une réponse de niveau 4e.
Niveau / Pré-requis
Niveau : 4e. Pré-requis : savoir identifier un triangle rectangle, connaître le carré d’un nombre, savoir calculer avec des longueurs, utiliser une calculatrice, rédiger une égalité mathématique. Cette fiche correspond au mot-clé : théorème pythagore 4eme.
Fiche méthode : théorème, réciproque et contraposée
1. Énoncé du théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Si le triangle ABC est rectangle en A, alors l’hypoténuse est BC et :
BC² = AB² + AC²
Astuce : avant d’écrire la formule, repère toujours l’angle droit. Le côté en face de l’angle droit est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle.
2. Calculer une longueur : méthode pas à pas
Exemple : le triangle DEF est rectangle en D, avec DE = 6 cm et DF = 8 cm. On cherche EF.
- Le triangle DEF est rectangle en D.
- L’hypoténuse est EF.
- D’après le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF².
- EF² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- Donc EF = √100 = 10.
Conclusion : EF mesure 10 cm.
3. Si on cherche un côté de l’angle droit
Exemple : un triangle GHI est rectangle en G, avec HI = 13 cm et GH = 5 cm. On cherche GI. Comme HI est l’hypoténuse :
HI² = GH² + GI², donc 13² = 5² + GI². Alors GI² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144, donc GI = 12 cm.
4. Réciproque du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.
Exemple : AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Le plus grand côté est BC. On calcule : BC² = 5² = 25 et AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Comme les deux résultats sont égaux, le triangle ABC est rectangle en A.
5. Contraposée du théorème de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle n’est pas rectangle.
Exemple : AB = 4 cm, AC = 6 cm, BC = 7 cm. Le plus grand côté est BC. BC² = 49 et AB² + AC² = 16 + 36 = 52. Comme 49 ≠ 52, le triangle ABC n’est pas rectangle.
Erreur fréquente : écrire toujours la même formule sans repérer l’hypoténuse. Si le triangle est rectangle en A, ce n’est pas forcément AB² = AC² + BC². Il faut d’abord trouver le côté opposé à l’angle droit.
Exercices
- Le triangle ABC est rectangle en A. AB = 9 cm et AC = 12 cm. Calculer BC.
- Le triangle DEF est rectangle en E. DE = 7 cm et EF = 24 cm. Calculer DF.
- Le triangle GHI est rectangle en G. HI = 15 cm et GH = 9 cm. Calculer GI.
- Le triangle JKL est rectangle en K. JL = 10 cm et JK = 6 cm. Calculer KL.
- Un triangle MNO a pour longueurs MN = 5 cm, MO = 12 cm et NO = 13 cm. Démontrer qu’il est rectangle.
- Un triangle PQR a pour longueurs PQ = 8 cm, PR = 15 cm et QR = 17 cm. Démontrer qu’il est rectangle et préciser en quel point.
- Un triangle STU a pour longueurs ST = 6 cm, SU = 8 cm et TU = 11 cm. Est-il rectangle ? Justifier.
- Une échelle de 5 m est posée contre un mur vertical. Son pied est à 3 m du mur. À quelle hauteur atteint-elle le mur ?
- Un terrain rectangulaire mesure 20 m de long et 15 m de large. Calculer la longueur de sa diagonale.
- Un câble relie le sommet d’un poteau vertical de 12 m à un point au sol situé à 9 m du pied du poteau. Quelle est la longueur du câble ?
Corrigé
Voir le corrigé
- ABC est rectangle en A, donc BC est l’hypoténuse. D’après Pythagore : BC² = AB² + AC². BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225. Donc BC = √225 = 15. BC = 15 cm.
- DEF est rectangle en E, donc DF est l’hypoténuse. DF² = DE² + EF² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Donc DF = √625 = 25. DF = 25 cm.
- GHI est rectangle en G, donc HI est l’hypoténuse. HI² = GH² + GI². 15² = 9² + GI². GI² = 225 − 81 = 144. Donc GI = √144 = 12. GI = 12 cm.
- JKL est rectangle en K, donc JL est l’hypoténuse. JL² = JK² + KL². 10² = 6² + KL². KL² = 100 − 36 = 64. Donc KL = √64 = 8. KL = 8 cm.
- Le plus grand côté est NO = 13 cm. NO² = 13² = 169. MN² + MO² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les résultats sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle MNO est rectangle en M.
- Le plus grand côté est QR = 17 cm. QR² = 17² = 289. PQ² + PR² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289. Les résultats sont égaux. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle PQR est rectangle en P.
- Le plus grand côté est TU = 11 cm. TU² = 11² = 121. ST² + SU² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Comme 121 ≠ 100, d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle STU n’est pas rectangle.
- Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle. L’échelle est l’hypoténuse : 5 m. On cherche la hauteur h. 5² = 3² + h². h² = 25 − 9 = 16. h = √16 = 4. L’échelle atteint le mur à 4 m de hauteur.
- La diagonale du rectangle est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés 20 m et 15 m. d² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625. d = √625 = 25. La diagonale mesure 25 m.
- Le poteau, le sol et le câble forment un triangle rectangle. Le câble est l’hypoténuse. c² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225. c = √225 = 15. Le câble mesure 15 m.
Pour aller plus loin
Pour progresser, entraîne-toi à reconnaître rapidement l’hypoténuse et à choisir entre trois usages : calculer une longueur avec le théorème, prouver qu’un triangle est rectangle avec la réciproque, ou prouver qu’il ne l’est pas avec la contraposée. Tu peux aussi mémoriser quelques triplets pythagoriciens utiles : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.
En rédaction, pense toujours à écrire une phrase de conclusion avec l’unité : « donc la longueur mesure ... cm » ou « donc le triangle est rectangle en ... ».
